2.2 Das Rechteckverfahren – Approximation durch konstante Funktionen

 

Ein Verfahren, das häufig zur Einführung in den Integralbegriff dient, ist das anschauliche Rechteckverfahren.

Wir betrachten die auf dem abgeschlossenen Teilintervall J = [a; b] beschränkte Funktion y = f(x). Es sei eine wie unter 2.1 definierte Zerlegung von [a; b] gegeben. Die konstante Näherungsfunktion Pi(x) = ci gelte als Approximation für f(x) auf dem Intervall Ji = [xi; xi+1]. Integration von Pi(x) liefert

.

Das bedeutet für das bestimmte Integral auf dem Intervall [a, b]:

Die Parallelen zur y-Achse in xi und xi+1 sowie die x-Achse und ihre Parallele in ci beschreiben ein Rechteck. Daher wird dieses Verfahren auch Rechteckverfahren gennant.

Beispiele dafür, wie man ci bestimmen kann, sind ci = f(xi) oder ci = f(xi+1), das entspricht dem Funktionswert an der linken bzw. an der rechten Grenze von Ji. Setzt man ci gleich dem Minimum von f auf Ji, so bekommt man die Untersumme A nach der Zerlegung Z(k).

(1)

 

Untersumme.bmp (725454 Byte)

 

In obenstehender Abbildung wurde die Funktion nach (1) bei einer Zerlegung in fünf Teilintervalle approximiert. Fa(x) stellt die dazugehörige Integralfunktion dar.

Ebenso können wir ci gleich dem Maximum von f auf Ji setzen, dann erhalten wir die Obersumme nach der Zerlegung Z(k):

(2)

 

Obersumme.bmp (835554 Byte)

In obenstehender Abbildung wird die selbe Funktion nach (2) mit einer Zerlegung in fünf Teilintervalle approximiert. Fa(x) ist die dazugehörige Integralfunktion

Wie unter 2.1 erläutert, kann die Zerlegung verfeinert werden, um den Fehler beliebig klein werden zu lassen. Dabei fällt auf, dass die Untersumme gegen eine obere Schranke konvergiert, die das exakte Integral I repräsentiert. Das gilt ebenso für die Obersumme, die gegen eine untere Schranke konvergiert. Es gilt: