2.3.2 Die Interpolationsformel von Lagrange

Wir benötigen zunächst die Lagrange‘schen Hilfspolynome L_{i Î} Õ _n für i = 0, 1, ..., n. Sie sollen so konstruiert werden, dass sie den Wert 1 an der Stützstelle x_i annehmen und den Wert 0 an allen anderen Stützstellen x_j.

Anscheinend erfüllen folgende Polynome diese Forderung:

= (3)

Wie wir oben nachgewiesen haben, ist die Lösung für das Interpolationsproblems eindeutig. Daraus folgt , dass auch die Hilfspolynome L_i jeweils eindeutig bestimmt sind, das heißt, dass es keine anderen Polynome gibt, die diese Bedingungen erfüllen. Somit können wir die Lösung P des Interpolationsproblems durch die L_i‘s konstruieren:

P ist ein Polynom vom Grad n ist, das an den Stützstellen x_i die Stützwerte f_i annimmt. Daraus ist ersichtlich, dass P linear von den Stützwerten f_i abhängt. Die untenstehende Abbildung dient zur Veranschaulichung der Approximation.

Hier wurde die Funktion f(x)=(sinx)³+3.5 (blau) durch ein Polynom dritten Grades P(x) (grün) interpoliert. Folgende Werte wurden durch Computerberechnung ermittelt und werden auf vier Stellen verkürzt ausgegeben.

Die Lagrangepolynome L_i: L₀(x) = -0.0208x³ + 0.0833x

L₁(x) = 0.0625x³ + 0.125x² –0.5x

L₂(x) = -0.0625x³ – 0.25x² +0.25x +1

L₃(x) = 0.0208x³ + 0.125x² + 0.1666x

Die Linearfaktoren f_i : f₀ = 3.9334

f₁ = 2.7481

f₂ = 3.5

f₃ = 4.2518

Für das interpolierende Polynom ergibt sich daraus:

P₃ (x) = -0.0403x³ + 0.537x + 2.5

Dieses Polynom stellt nun die eindeutige Lösung für das gegebene Interpolationsproblem dar.